i dadi del poker sono giocati simultaneamente

i dadi del poker sono giocati simultaneamente

I dadi del poker si giocano facendo rotolare contemporaneamente 5 dadi. Mostralo?

La soluzione data è che:

I numeri nella parentesi dovrebbero essere su e giù che è in realtà (6! / (5! * 1) e, 5! / (3! * 2!) E 5! / (4! * 1)).

Chiedendo costa 5 punti e poi scegliendo la migliore risposta guadagna 3 punti!

I dadi del poker sono giocati simultaneamente

I dadi del poker si giocano facendo rotolare contemporaneamente 5 dadi. La probabilità di due coppie è di circa 0,2315. Questa probabilità può essere derivata dal seguente metodo: $$ P \ = \ frac<<6\choose2><5\choose2><3\choose2><4\choose1>><6^5>$$ Tuttavia, sto provando un altro approccio, ovvero: $$ \ frac<6\cdot1\cdot5\cdot1\cdot4 ><6^5>$$ Il mio pensiero è il 6 rappresenta il dado potrebbe trovarsi su qualsiasi numero. I seguenti 1 rappresentano che deve essere lo stesso numero del precedente. Il 5 rappresenta che potrebbe essere un qualsiasi numero tranne il numero precedente e il seguente 1 significa che deve essere lo stesso numero dell'ultimo che si sta verificando, producendo due coppie. Infine, il 4 rappresenta che potrebbe essere un qualsiasi numero diverso dalle prime due coppie. Il calcolo sopra considera solo una sequenza specifica. Quindi, per includere tutti gli arrangiamenti possibili, lo multiplo con $$ Total \ arrangement = \ frac<5!><2!\cdot 2!>$$ Questa idea deriva dal problema della disposizione delle lettere. Ad esempio, data la domanda di quante diverse disposizioni letterali possono essere fatte dalle lettere . Presumo che la soluzione sia la stessa del calcolo precedente. Tuttavia, ho sbagliato. Infatti, ottengo: $$ \ frac<6\cdot1\cdot5\cdot1\cdot4 ><6^5>\ cdot \ frac<5!> <2!\cdot 2!>= 2 \ cdot \ frac<<6\choose2><5\choose2><3\choose2><4\choose1>><6^5>$$ Qualcuno può spiegare il mio equivoco?

L'errore che hai fatto è nel conteggio doppio degli accordi. Una volta che dici (nella prima parte) che i primi due dadi sono un numero particolare, e il secondo due l'altro numero abbinato, allora non vuoi nemmeno dire che qualsiasi possibile disposizione dei cinque numeri funziona.

Per esempio, dì che il primo numero in te "6" nella parte 1 è 4, e il secondo è 2.

Quindi vuoi contare gli arrangiamenti di 4422x per cui x non è né 4 né 2.

Se inizi a contare tutti gli arrangiamenti di 5 dadi, conterai 4422x e anche 2244x. Ma con il tuo conteggio nella prima parte, questo dovrebbe apparire solo una volta nella parte 2.

Quindi il tuo calcolo è alto di un fattore due.

Dadi da poker sono dadi che, invece di avere pips numerici, hanno su di loro rappresentazioni di carte da gioco. I dadi del poker hanno sei lati, uno ciascuno di un asso, re, regina, jack, 10 e 9, e sono usati per formare una mano di poker.

Ogni varietà di dadi da poker varia leggermente rispetto ai semi, anche se l'asso di picche è quasi universalmente rappresentato.

9 ♣ e 10 ♦ si trovano spesso, mentre le figure sono tradizionalmente rappresentate non per seme, ma per colore: rosso per i re, verde per le regine e blu per le prese. I produttori non hanno standardizzato i colori dei lati del viso.

Il classico gioco del dado del poker si gioca con 5 dadi e due o più giocatori. Ogni giocatore ha un totale di 3 tiri e la capacità di tenere i dadi tra un tiro e l'altro. Dopo i tre tiri vince la mano migliore. Né "flush" né "straight flush" sono una mano possibile, a causa della mancanza di semi sul dado.

In alcune regole, mentre un dritto a un Re viene definito Straight, un straight a un Asso viene riferito (in modo non corretto) come Flush. Inoltre, in queste regole, una Scala è più preziosa di una Full House (riflettendo correttamente il suo livello di difficoltà) e una Scala è più preziosa del Four Of A Kind (riflette erroneamente la sua identica probabilità di quella di una Scala).

Le classifiche delle mani dei dadi del poker e le probabilità corrispondenti di rotolare quella mano sono le seguenti (non ordinate per probabilità ma dalla più alta alla più bassa): [1] [2]

I dadi del poker sono giocati simultaneamente

Problema I dadi del poker si giocano facendo rotolare contemporaneamente 5 dadi. In quanti modi possiamo formare "1 coppia", "2 coppie"?

Per una coppia, ho avuto la risposta subito. Innanzitutto considero che ci sono 5 punti per 5 dadi. Poi scelgo 2 posti su 5, il che significa che sono rimasti 3 posti, quindi dobbiamo scegliere 3 su 3 che è 1 via. Quindi, ho: $$<<5>\scegliere<2>> \ cdot 6 <<3>\scegliere<3>> \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 = 3600 $$ Tuttavia, non sono riuscito a capire perché ho sbagliato due coppie. Per prima cosa, scelgo 2 posti per la prima coppia, quindi il suo rango. Successivamente, 2 posti per la seconda coppia e il suo rango. Dato che rimane solo 1 posto, scelgo il grado per l'ultimo dado. $$<<5>\scegliere<2>> \ cdot 6 <<3>\scegliere<2>> \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 = 3600 $$ perché la risposta corretta è 1800, il che significa che ho bisogno di dividere per un fattore 2. Suppongo che potrebbe essere l'ordine di due coppie che possono essere commutate, ma mi chiedo c'è un modo migliore per contarlo? Sono così confuso :(! Qualche idea?

Hai identificato correttamente l'errore: hai contato ogni mano due volte, perché le coppie possono essere scelte in qualsiasi ordine. Ad esempio, hai contato la mano $ 11223 $ una volta con $ 22 $ come prima coppia e $ 33 $ come seconda coppia, e ancora una volta con $ 33 $ come prima coppia e $ 22 $ come seconda coppia.

Ecco un modo per contare che evita questo problema. Prima scegli le due denominazioni che saranno coppie; questo può essere fatto in $ \ binom62 $ modi. Quindi scegli la denominazione rimanente; questo può essere fatto in $ 4 $ modi. Ora scegli quale dei $ 5 $ dadi mostrerà il singleton; questo può essere fatto in $ 5 $ modi. Infine, scegli quale $ 2 $ del rimanente $ 4 $ mostrerà il più piccola delle due coppie; questo può essere fatto in $ \ binom42 $ modi. Il totale è quindi $ \ binom62 \ cdot4 \ cdot5 \ cdot \ binom42 = 1800 $ modi. La chiave per evitare il doppio conteggio è scegliere le posizioni per a specifica paio. Una volta che sai dove sono la coppia più piccola e il singleton, sai automaticamente dove si trova la coppia più grande: non c'è niente da scegliere.

Questo è un problema relativo ai calcoli di probabilità di base del testo: "Un primo corso nella teoria della probabilità" di Sheldon Ross (ottava aggiunta).

Capitolo 2 # 16. I dadi del poker si giocano facendo rotolare contemporaneamente 5 dadi. Mostra che:

a) P [no two alike] = .0926, b) P [una coppia] = .4630, c) P [doppia coppia] = .2315, d) P [tre uguali] = .1543, e) P [pieno casa] = .0386, f) P [quattro uguali] = .0193, g) P [5 uguali] =. 0008.

Notazione, lascerò ^ designare la funzione di potenza. Ad esempio, 6 ^ 5 è 6 alla quinta potenza. 6! è 6 fattoriale, 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1.

Per calcolare qui le probabilità, divideremo il numero di occorrenze per un particolare evento per le possibilità totali nel lancio di 5 dadi.

N [totale] = possibilità totali nel tirare cinque dadi = 6 ^ 5 = 7776

Nota: N [totale] è il numero di tiri ordinati. Per esempio, se lanciassimo i dadi uno per uno e girassimo in ordine 3,4,5,6,2, sarebbe considerato diverso se avessimo arrotolato 2,3,4,5,6 in ordine.

Ci sono 6 scelte di numeri per i primi dadi. Il secondo dado deve essere uno dei rimanenti 5 numeri non scelti, e il 3 ° dado uno dei 4 numeri non scelti rimanenti, e così via ... Questo dà un conteggio ordinato, quindi:

N [no two alike] = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 = 720

P [no two alike] = N [no due uguali] / N [totale] = 720/7776 = 0,09259259

Innanzitutto contiamo i possibili insiemi (non ordinati) dei numeri. Qui abbiamo un numero che è la coppia, 6 scelte. Quindi dobbiamo scegliere 3 numeri diversi dai restanti 5 valori, in quanto questi tre sono equivalenti, abbiamo scelto (5,3) = 5! / (3! * 2!) Possibilità. Quindi 6 * scegliere (5,3) è la combinazione totale di numeri. Dato che abbiamo a che fare con conteggi ordinati, dobbiamo considerare gli ordini per ogni serie di numeri. Abbiamo 5 dadi con 2 uguali, quindi il numero di ordini è 5! / 2 !. La moltiplicazione di questi insieme ci fornisce il numero di campioni ordinati:

N [una coppia] = 6 * (5! / (3! * 2!)) * (5! / 2) = 3600

P [una coppia] = N [una coppia] / N [totale] = 0,462963

Qui abbiamo 2 coppie che sono equivalenti, quindi dobbiamo scegliere 2 valori tra i 6 valori possibili, scegliere (6,2) = 6! / (2! * 4!). Quindi dobbiamo scegliere 1 valore dal rimanente 4 per il valore singolo, 4 modi. Ora dobbiamo considerare gli ordini, 5 dadi con 2 set di 2 uguali in modo che il numero di ordini sia 5! / (2! * 2!).

N [due coppie] = (6! / (2! * 4!)) * 4 * (5! / (2! * 2!)) = 1800

P [due coppie] = N [due coppie] / N [totale] = 0,2314815

d) P [tre uguali] (le restanti due carte sono diverse)

Ci sono 6 scelte per il tris. Quindi dobbiamo scegliere 2 valori diversi dalle restanti 5 scelte, scegliere (5,2) = 5! / (2! * 3!). Il numero di ordini è di 5 articoli con 3 identici, che è 5! / 3 !.

N [tre uguali] = 6 * (5! / (3! * 2!)) * (5! / 3!) = 1200

P [tre uguali] = N [tre uguali] / N [totale] = 0,154321

e) P [casa piena] 3 allo stesso modo con una coppia.

Abbiamo bisogno di un valore per i tre che sono uguali, 6 modi, e quindi dobbiamo scegliere tra i 5 valori rimanenti per la coppia, 5 modi. Gli ordini sono dati da 5! / (3! * 2!).

N [casa piena] = 6 * 5 * (5! / (3! * 2!)) = 300

P [full house] = N [full house] / N [totale] = 0.03858025

Abbiamo bisogno di un valore per il tris e quindi un valore tra i rimanenti 5 per l'ultimo dado. Il numero di ordini è dato da 5! / 4 !.

N [quattro uguali] = 6 * 5 * (5! / 4!) = 150

P [quattro uguali] = N [quattro uguali] / N [totale] = 0,01929012

Qui abbiamo bisogno di 1 valore per i cinque simili, 6 modi. C'è solo un possibile ordine dato che tutti e cinque i dadi sono uguali.

P [cinque uguali] = N [cinque uguali] / N [totale] = 0.0007716049

Verifica: i numeri di ciascun tipo devono essere pari a N [totale] = 7776:

720 + 3600 + 1800 + 1200 + 300 + 150 + 6 = 7776

Possiamo avere due possibili rettilinei: uno composto da (6,5,4,3,2) e uno composto da (5,4,3,2,1). Ognuno di questi rettilinei può essere permutato 5! modi.

N [dritto] = 2 * 5! = 240

P [dritto] = N [dritto] / N [totale] = 0,0308642

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