probabilità di triplicare con tre dadi

probabilità di triplicare con tre dadi

Probabilità di triplicare con tre dadi

Considera la scommessa che tutti e tre i dadi diventeranno sei almeno una volta in n tiri da tre dadi. Calcola $ f (n) $, la probabilità di almeno un triple-sei quando tre dadi vengono lanciati n volte. Determina il valore minimo di n necessario per una scommessa favorevole che un triplo-sei si verificherà quando tre dadi vengono lanciati n volte. (DeMoivre direbbe che dovrebbe essere di circa $ 216 \ log 2 = 149,7 $ e quindi risponderebbe a 150-vedere l'Esercizio 1.2.17 Sei d'accordo con lui?)

Come capisco:

È corretto? E la seconda domanda? Non dipende dalla scommessa, o cosa significano?

Probabilità di triplicare con tre dadi

Qual è la possibilità di raddoppiare i doppi in tre dadi a sei facce?

Il numero di elementi nello spazio campionario = 216 o (6 * 6 * 6)

Dei tre numeri che due di loro sono uguali è (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) = 6 doppietti. Ognuno di questi può accadere in 3 modi diversi, cioè (1,1, x) (1, x, 1) (x, 1,1) = 3 modi. Ora x può essere uno qualsiasi dei 5 numeri rimanenti. Quindi il numero totale di modi in cui due di essi possono essere uguali = 6 x 3 x 5 = 90

Quindi probabilità dell'evento = 90/216 = 5/12

Assumerò che i "doppi" non includano le triple. Immagina che i dadi siano colorati di blu, bianco e rosso. Registra il risultato come una tripla $ (b, w, r) $, dove $ b $ è il numero sul blu e così via. Ci sono $ 6 ^ 3 $ possibili risultati, tutti ugualmente probabili.

Quanti doppi ci sono? Il numero che ne abbiamo due può essere scelto in $ 6 $. Per ogni scelta, il numero di cui abbiamo uno può essere scelto in $ 5 $ modi, e il suo Posizione (colore) può essere scelto in $ 3 $ modi, per un totale di $ (6) (5) (3) $. la probabilità richiesta è quindi $ \ frac<(6)(5)(3)><6^3>$.

Un altro modo: La probabilità che tutti i lanci siano uguali è $ \ frac<1><36>$, dal momento che qualunque cosa otteniamo sul blu, dobbiamo ottenere sul bianco e sul rosso.

La probabilità che i lanci siano tutti diversi è $ \ frac<5><6>\ Cdot \ frac<4><6>$. Quindi la probabilità di non ottenere un doppio è $ \ frac<1><36>+\ frac<20><36>$. Ne consegue che la probabilità di un doppio è $ \ frac<15><36>$.

Probabilità per Rolling Three Dice

Probabilità di tirare tre dadi con i punti a sei lati come 1, 2, 3, 4, 5 e 6 punti in ciascuna (tre) matrici.

Quando tre dadi vengono lanciati simultaneamente / casualmente, il numero di eventi può essere 6 3 = (6 Г- 6 Г- 6) = 216 perché ogni dado ha un numero da 1 a 6 sui suoi volti.

Problemi risolti che implicano probabilità di tirare tre dadi:

1. Tre dadi sono gettati insieme. Trova la probabilità di:

(i) ottenendo un totale di 5

(ii) ottenendo un totale di 5

(iii) ottenendo un totale di almeno 5.

(iv) ottenendo un totale di 6.

(v) ottenendo un totale di quasi 6.

(vi) ottenendo un totale di almeno 6.

Allo stesso tempo vengono lanciati tre dadi diversi.

Pertanto, il numero totale di risultati possibili sarà 6 3 = (6 Г- 6 Г- 6) = 216.

(i) ottenendo un totale di 5:

Numero di eventi per ottenere un totale di 5 = 6

cioè (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (2, 2, 1), (2, 1, 2) e (1, 2, 2)

Pertanto, la probabilità di ottenere un totale di 5

Numero di risultati favorevoli

P (E1) = Numero totale di risultati possibili

(ii) ottenendo un totale di 5:

Numero di eventi per ottenere un totale di 5 = 10

cioè (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1), (1, 1, 3), (1, 3, 1), ( 3, 1, 1), (2, 2, 1) e (1, 2, 2).

Pertanto, la probabilità di ottenere un totale di atmost 5

Numero di risultati favorevoli

P (E2) = Numero totale di risultati possibili

(iii) ottenendo un totale di almeno 5:

Numero di eventi per ottenere un totale inferiore a 5 = 4

cioè (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1) e (2, 1, 1).

Pertanto, la probabilità di ottenere un totale inferiore a 5

Numero di risultati favorevoli

P (E3) = Numero totale di risultati possibili

Pertanto, la probabilità di ottenere un totale di almeno 5 = 1 - P (ottenendo un totale inferiore a 5)

(iv) ottenendo un totale di 6:

Numero di eventi per ottenere un totale di 6 = 10

cioè (1, 1, 4), (1, 4, 1), (4, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), ( 2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) e (2, 2, 2).

Pertanto, la probabilità di ottenere un totale di 6

Numero di risultati favorevoli

P (E4) = Numero totale di risultati possibili

(v) ottenendo un totale di 6 al massimo:

Numero di eventi per ottenere un totale di 6 = 20

cioè (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1), (1, 1, 3), (1, 3, 1), ( 3, 1, 1), (2, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 1, 4), (1, 4, 1), (4, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) e (2, 2, 2).

Pertanto, la probabilità di ottenere un totale di atmost 6

Numero di risultati favorevoli

P (E5) = Numero totale di risultati possibili

(vi) ottenendo un totale di almeno 6:

Numero di eventi per ottenere un totale inferiore a 6 (evento di ottenere un totale di 3, 4 o 5) = 10

cioè (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1) (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3 , 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1).

Pertanto, la probabilità di ottenere un totale inferiore a 6

Numero di risultati favorevoli

P (E6) = Numero totale di risultati possibili

Pertanto, la probabilità di ottenere un totale di almeno 6 = 1 - P (ottenendo un totale di meno di 6)

Questi esempi ci aiuteranno a risolvere diversi tipi di problemi basati sulla probabilità di tirare tre dadi.

Probabilità di tirare numeri identici con dadi poliedrici.

C'è un modo per calcolare il numero di lanci identici nei tiri di dadi poliedrici?

Un esempio specifico: tiro $ 3 $ volte un dado da $ 12 $.

Quali sono le probabilità di far rotolare un numero due volte con 3 dadi? Per esempio. $ (4,4,7) $, $ (4,2,4) $.

AND: Quali sono le probabilità di ottenere un certo numero $ 3 $ volte con $ 3 $ dadi? Per esempio. $ (4,4,4) $, $ (11,11,11) $.

Questo suona terribilmente come una domanda a casa. Si prega di includere il tag dei compiti.

Se hai tre matrici a 6 lati, la probabilità di far rotolare lo stesso numero due volte è di $ 66/216 $. La probabilità che tutti gli stampi abbiano lo stesso valore è $ 6/216 $.

Perché 216? Questa è la quantità totale di risultati possibili dagli stampi.

Quindi è possibile contare la quantità di volte in cui si verifica un risultato specifico.

Per un dado a 12 facce segue la stessa logica. La probabilità che tutti e 3 i dadi abbiano lo stesso valore è $ 12/1728 $. La probabilità che 2 di loro siano uguali è $ 276/1728 $.

Per tirare tre dadi da $ n $ e ottenere Esattamente un paio di dadi che corrispondono (contando i risultati come (4,2,4) ma senza contare i risultati come (6,6,6)) contiamo quanti tripli possibili di numeri hanno questa proprietà tramite il principio di moltiplicazione.

  • Scegli il numero usato per la coppia
  • Scegli il numero usato per il singleton
  • Scegli la posizione nella tripla usata dal singleton

Ci sono $ n $ scelte per il numero usato per la coppia. Data questa selezione, ci sono $ n-1 $ di opzioni rimanenti da utilizzare per il singleton. Indipendentemente da queste scelte, ci sono $ 3 posizioni $ disponibili per il singleton da inserire nella nostra tripla. Applicando il principio di moltiplicazione, ci sono quindi $ 3n (n-1) = 3n ^ 2-3n $.

Nel caso di $ d6 $ sarebbe $ 6 \ cdot 5 \ cdot 3 = 90 $ possibilità.

Se dovessimo includere anche i risultati in cui tutti e tre i dadi mostrano lo stesso risultato, sarebbe un ulteriore $ n $ possibilità, portando il nuovo totale a $ 3n (n-1) + n = 3n ^ 2-2n $, in il caso di $ d6 $ un totale di $ 90 + 6 = 96 $ possibilità.

Per trovare la probabilità, dividiamo per il numero totale di triple, che sarebbe $ n ^ 3 $, visto anche dal principio di moltiplicazione. Nell'esempio di $ d6 $ sarebbe $ 6 ^ 3 = 216 $.

La probabilità corretta per l'esempio dei dadi a sei facce sarebbe quindi $ \ frac<90><216>$ se ci interessa Esattamente una coppia e sarebbe $ \ frac<96><216>$ se ci interessa almeno una pera

Il termine "probabilità" è correlato nel concetto alla probabilità, ma tecnicamente diverso.

Mentre il probabilità per esattamente una coppia nell'esempio di dadi a sei facce è $ \ frac<90><216>$ il probabilità sarà invece $ 90

126 $, in riferimento a come ci sono $ 90 $ risultati favorevoli contro $ 126 $ risultati sfavorevoli.

Probabilità di triplicare con tre dadi

Durante le vacanze ho giocato a un gioco di dadi in cui ogni giocatore aveva da 3 a 7 d6 per tirare ogni turno. Il gioco ha dato alcuni vantaggi ai doppi e ai tripli. Volevo sapere le probabilità di doppi rotoli o tripli dato dadi N per capire l'importanza di "aggiornare" a più dadi.

La mia domanda è davvero su come ragionare su tali problemi: è facile vedere che le probabilità di rolling doubles con 2 d6 sono 1/6 (il primo die può essere qualsiasi cosa, e 1/6 del tempo corrisponde al secondo). È anche facile vedere che con 7 dadi le probabilità sono 1.0 (6 dadi potrebbero essere 1..6, ma il 7 deve coincidere con uno di essi). I casi centrali sono più confusi per me.

Ho finito per scrivere un programma per enumerare tutte le possibilità (anche 6 ^ 7 è solo 279.936 casi da valutare) perché quello era l'unico modo in cui sentivo di poter verificare qualsiasi formula chiusa che mi fosse venuta in mente. Ciò mi ha anche permesso di distinguere i casi di più doppi (o tripli). Mi piacerebbe sapere come derivare le forme chiuse e come convalidare tali soluzioni senza la simulazione della forza bruta.

Stai guardando una versione molto più gestibile del famoso problema del compleanno, che ha 365 scelte per ogni "morire". Il collegamento descrive anche la soluzione. In breve, il trucco per contare i duplicati è piuttosto il conteggio dei casi senza un duplicato - questo è molto più semplice.

Hai posto il tipo di domanda combinatoria che i prof ti chiederanno come studente.

Riduciamo il problema al doppio di due dadi. Invece di chiedere informazioni sui doppi, chiediamoci come non rotolare in doppio. Ci sono 6 modi per lanciare il primo dado e 5 modi (escluso il tiro del primo dado) per tirare il secondo dado. Perché noi siamo non rolling double, potremmo abbinare un 1 come questo:

Puoi continuare questo schema per 6 x 5 o 30 non-doppi. Ci sono 6 * 6 = 36 modi per tirare una coppia di dadi, quindi 36 - (6 * 5) ti dà 6 modi per tirare il doppio.

È stato banale, ma costruiamo fino a 3 dadi.

Quanti modi ci sono non tira 3 dadi uguali? La risposta è 6 * 5 * 4 = 120, perché ci sono 6 modi per lanciare il primo dado, 5 modi per lanciare il secondo (e non duplicare il primo), e 4 modi per tirare il terzo dado (e non duplicare il primo o il secondo).

Ecco i modi per non tirare un doppio o un triplo con tre dadi, quando il primo dado è un 1.

Ci sono 6 * 6 * 6 = 216 modi per tirare tre dadi, e 6 * 5 * 4 modi per lanciare non duplicati, quindi ci sono 216 - 120 = 96 modi per far rotolare il doppio o il triplo.

Stai davvero chiedendo istruzioni in combinatoria, che è un vasto campo. Per questo particolare problema, un buon metodo, se alquanto astratto, consiste nell'utilizzare funzioni generatrici. La funzione di generazione di probabilità (pgf) per un d $ n $, dove $ n = 1, 2, \ ldots $, si ottiene calcolando la media di $ n $ variabili. I loro nomi non contano, quindi chiamiamoli $ x_1, x_2, \ ldots, x_n $. Il pgf per $ k $ roll è solo $ k ^<\text> $ potere del pgf per 1 rotolo. Quindi, se espandi

puoi leggere la risposta a qualsiasi domanda controllando i coefficienti.

Ad esempio, per trovare la probabilità di lanciare un full house (tre di un numero, due di un altro) in Yahtzee ($ n = 6, k = 5 $) guarda tutti i termini in $ ((x_1 + \ cdots + x_6 ) / 6) ^ 5 $ che comportano una terza potenza e una seconda potenza. Ce ne sono 15, ognuno con il coefficiente 5/3888, e ognuno ha esiti chiaramente diversi, quindi la probabilità di un full house è la somma di queste probabilità, pari a 15 * 5/3888.

È semplice scrivere codice che moltiplica e aggiunge polinomi di questo tipo. Il numero di calcoli per sette tiri del tuo d6 è di poche migliaia, molto più piccolo delle centinaia di migliaia necessarie per enumerare e calcolare tutte le possibili combinazioni.

L'analisi matematica delle funzioni generatrici fornisce spesso formule a forma chiusa per i coefficienti. Sono disponibili molti esempi; puoi controllare alcuni di loro sul sito di matematica.